题目内容
【题目】如图1,以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上,连接BE,交AF于点G.
(1)猜想BG与EG的数量关系.并说明理由;
(2)延长DE,BA交于点H,其他条件不变,
①如图2,若∠ADC=60°,求的值;
②如图3,若∠ADC=α(0°<α<90°),直接写出的值.(用含α的三角函数表示)
【答案】(1),理由见解析;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)BG=EG,根据已知条件易证△BAG≌△EFG,根据全等三角形的对应边相等即可得结论;(2)①方法一:过点G作GM∥BH,交DH于点M,证明ΔGME∽ΔBHE,即可得,再证明
是等边三角形,可得
,由此可得
;方法二:延长
,
交于点
,证明ΔHBM为等边三角形,再证明
∽
,即可得结论;②如图3,连接EC交DF于O根据三角函数定义得cosα=
,则OF=bcosα,DG=a+2bcosα,同理表示AH的长,代入
计算即可.
(1),
理由如下:
∵四边形是平行四边形,
∴∥
,
.
∵四边形是菱形,
∴∥
,
.
∴∥
,
.
∴.
又∵,
∴≌
.
∴.
(2)方法1:过点作
∥
,交
于点
,
∴.
∵,
∴∽
.
∴.
由(1)结论知.
∴.
∴.
∵四边形为菱形,
∴.
∵四边形是平行四边形,
∥
.
∴.
∵∥
,
∴.
∴,
即.
∴是等边三角形。
∴.
∴.
方法2:延长,
交于点
,
∵四边形为菱形,
∴.
∵四边形为平形四边形,
∴,
∥
.
∴.
,
即.
∴为等边三角形.
∴.
∵∥
,
∴,
.
∴∽
,
∴.
由(1)结论知
∴.
∴.
∵,
∴ .
(3). 如图3,连接EC交DF于O,
∵四边形CFED是菱形,
∴EC⊥AD,FD=2FO,
设FG=a,AB=b,则FG=a,EF=ED=CD=b,
Rt△EFO中,cosα=,
∴OF=bcosα,
∴DG=a+2bcosα,
过H作HM⊥AD于M,
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α,
∴AH=HD,
∴AM=AD=
(2a+2bcosα)=a+bcosα,
Rt△AHM中,cosα=,
∴AH=,
∴=
=cosα.
