题目内容
【题目】如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.
（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；
（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，
①如图2，若∠ADC=60°，求
的值；
②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出的值.（用含α的三角函数表示）
【答案】（1）
，理由见解析；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）BG=EG，根据已知条件易证△BAG≌△EFG，根据全等三角形的对应边相等即可得结论；（2）①方法一：过点G作GM∥BH，交DH于点M，证明ΔGME∽ΔBHE，即可得
，再证明
是等边三角形，可得 
，由此可得
；方法二：延长
，
交于点
，证明ΔHBM为等边三角形，再证明
∽
，即可得结论；②如图3，连接EC交DF于O根据三角函数定义得cosα=
，则OF=bcosα，DG=a+2bcosα，同理表示AH的长，代入
计算即可．
（1），
理由如下：
∵四边形
是平行四边形，
∴
∥
，
.
∵四边形
是菱形，
∴∥
，
.
∴
∥，
.
∴
.
又∵
，
∴
≌
.
∴.
（2）方法1：过点
作
∥
，交
于点，
∴
.
∵
，
∴
∽
.
∴
.
由（1）结论知.
∴
.
∴.
∵四边形为菱形，
∴
.
∵四边形是平行四边形，
∥.
∴
.
∵∥
，
∴
.
∴
，
即
.
∴是等边三角形。
∴.
∴.
方法2：延长，交于点，
∵四边形为菱形，
∴
.
∵四边形为平形四边形，
∴
，
∥.
∴
.
,
即
.
∴
为等边三角形.
∴
.
∵∥，
∴
,
.
∴∽ ，
∴
.
由（1）结论知
∴.
∴
.
∵,
∴
.
（3）. 如图3，连接EC交DF于O，
∵四边形CFED是菱形，
∴EC⊥AD，FD=2FO，
设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，
Rt△EFO中，cosα=，
∴OF=bcosα，
∴DG=a+2bcosα，
过H作HM⊥AD于M，
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，
∴AH=HD，
∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，
Rt△AHM中，cosα=
，
∴AH=
，
∴=
=cosα．
