题目内容
【题目】如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,CE 平分∠ACB,点 D 在 CE的延长线上,连接 BD,过B作BF⊥BC交 CD 于点 F,连接 AF,若CF=2BD ,DE:CE=5:8 , BF ,则AF的长为_________.
【答案】
【解析】
取CF的中点为M连接BM,可证得与
均为等腰三角形,设
,通过角的计算可证得
与
均为等腰三角形,由
,设
,过B作
于N,过A作
于G,根据相似三角形的性质结合勾股定理可求得
的值以及AG、FG的值,利用勾股定理即可求解.
取CF的中点为M连接BM,
∵BF⊥BC,
∴∠FBC=90,
∴CM=FM=BM==BD,
∴与
均为等腰三角形,
,
设,则
,
,
,
,
∴可得与
均为等腰三角形,
∵,
设,则
,
,
,
∴,
过B作于N,过A作
于G,
得,
,
∵∠FBN+∠BFN=90,∠FCB+∠BFN=90
,
∴∠FBN=∠FCB,
∴△RtFBNRt△BCN,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
,
,
,
∵∠BEN=∠CEA,
∴Rt△BENRt△CEA,
∴,即
,
∴,
∵∠BEN=∠AEG,
∴Rt△BENRt△AEG,
∴,即
,
∴,
,
∴,
在Rt△AFG中,
.

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