Question

如图所示，直线AB、CD相交于点P，点Q、E在AB上，已知：PQ=8，QE=3，sin∠BPC=

5

5

，O为射线QA上的一动点，⊙O的半径为

5

，开始时，O点与Q点重合，⊙O沿射线QA方向移动．
（1）当圆心O运动到与点E重合时，判断此时⊙O与直线CD的位置关系，交说明你的理由；
（2）设移动后⊙O与直线CD交于点M、N，若△OMN是直角三角形，求圆心O移动的距离．

Answer 1

分析：（1）过点E作EF⊥CD于点F，求出PE的长，根据sin∠BPC=

5

5

即可求出EF的长，进而可判断出⊙O与直线CD的位置关系；
（2）过点O作OG⊥CD于点G，由勾股定理求出OG的长，再根据sin∠BPC=

5

5

即可求出OP的长，进而可得出结论．

解答：解：（1）如图1，过点E作EF⊥CD于点F，
∵PQ=8，QE=3，
∴PE=PQ-QE=8-3=5，
∵sin∠BPC=

5

5

，
∴EF=PE•sin∠BPC=5×

5

5

=

5

，
∴此时⊙O与直线CD相切；

（2）如图2，当O点在P点的右侧时：过点O作OG⊥CD于点G，
∵△OMN是直角三角形，OM=ON=

5

，
∴2OG²=OM²，即OG=

( 5 )2 2

=

10

2

，
∵sin∠BPC=

5

5

，
∴OP=

OG

sin∠BPC

=

10 2

5 5

=

5 2

2

．
∴OQ=PQ-OP=8-

5 2

2

．
如图3，当点O在点P的左侧时，同理可得OP=

5 2

2

，
∴OQ=PQ+OP=8+

5 2

2

答：圆心O移动的距离是8-

5 2

2

或8+

5 2

2

．

点评：本题考查的是直线与圆的位置关系及锐角三角函数的定义，熟知直线与圆的三种位置关系是解答此题的关键．