Question

【题目】如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的________________．（填序号）

① ② ③为等边三角形 ④ ⑤CM平分

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；

②过E作,根据等边三角形求出ED、CN的长，即可求出BE的长；

③由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形；

④证明△DMC∽△DBA，求出CM长；

⑤证明M、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.

解：连接MC，FG，过点E作EN⊥BD，垂足为N，

①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，

∴∠ACE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE＝120°，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；①正确；

②∵△CDE都是等边三角形，且边长为3cm.

∴CN=cm，EN=cm.

∵BC=5cm.

∴，②正确；

③∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE，

在△ACG和△BCF中，

∴△ACG≌△BCF（ASA），

∴CG＝CF

而∠GCF＝60°，

∴△CFG是等边三角形，③正确；

⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，

∴M、F、C、G四点共圆，

∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，

∴∠BMC＝∠DMC，

∴CM平分∠BMD，⑤正确；

④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA

∴△DMC∽△DBA

∴

∴

∴CM=.④错误.

故答案为：①②③⑤.