Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=  ，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x。

（1）梯形ABCD的面积为_________；
（2）当x的值为___________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（3）当x的值为___________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（4）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由。

Answer 1

（1）34
（2） x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（3）x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（4）由（3）知，①当BP=1时，不能构成菱形．
②当BP′=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形；

试题分析：（1）先作高，然后根据梯形的面积公式求出结果；
（2）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，容易得到AM=DN，AD=MN，而CD=，∠C=45°，由此可以求出AM=DN，又AD=5，容易求出BM、CN，若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则∠APC=90°或∠DPE=90°，那么P与M重合或E与N重合，即可求出此时的x的值；
（3）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；
（4）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（2）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边证明它们相等即可证明它是菱形．
点评：本题是一个开放性试题，利用梯形的性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质等知识来解决问题，要求学生对于这些知识比较熟练，综合性很强．