题目内容
【题目】某同学用两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起(如图1)固定△ABC不动,将△DEF沿线段AB向右平移.
(1)若∠A=60°,斜边AB=4,设AD=x(0≤x≤4),两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y,试求出y与x的函数关系式;
(2)在运动过程中,四边形CDBF能否为正方形,若能,请指出此时点D的位置,并说明理由;若不能,请你添加一个条件,并说明四边形CDBF为正方形?
【答案】(1)y=(0≤x≤4);(2) 不能为正方形,添加条件:AC=BC时,当点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形.
【解析】分析:(1)根据平移的性质得到DF∥AC,所以由平行线的性质、勾股定理求得GD=,BG=
=
,所以由三角形的面积公式列出函数关系式;(2)不能为正方形,添加条件:AC=BC时,点D运动到AB中点时,四边形CDBF为正方形;当D运动到AB中点时,四边形CDBF是菱形,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知CD=
AB,BF=
DE,所以AD=CD=BD=CF,又有BE=AD,则CD=BD=BF=CF,故四边形CDBF是菱形,根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件.
详解:(1)如图(1)
∵DF∥AC,
∴∠DGB=∠C=90°,∠GDB=∠A=60°,∠GBD=30°
∵BD=4﹣x,
∴GD=,BG=
=
y=S△BDG=×
×
=
(0≤x≤4);
(2)不能为正方形,添加条件:AC=BC时,当点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形.
∵∠ACB=∠DFE=90°,D是AB的中点
∴CD=AB,BF=
DE,
∴CD=BD=BF=BE,
∵CF=BD,
∴CD=BD=BF=CF,
∴四边形CDBF是菱形;
∵AC=BC,D是AB的中点.
∴CD⊥AB即∠CDB=90°
∵四边形CDBF为菱形,
∴四边形CDBF是正方形.
