Question

已知反比例函数y=的图像经过点A(-，1)。
(1) 试确定此反比例函数的解析式；
(2) 点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB。判断点B是否在此反比例函数的图像上，并说明理由；
(3) 已知点P(m，m+6)也在此反比例函数的图像上(其中m<0)，过P点作x轴的垂线，交x轴于点M。若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n， 求n²-2n+9的值。

Answer 1

(1) y= - (2)在，理由见解析(3)8

解：(1) 由题意得1=，解得k= -，
∴反比例函数的解析式为y= -；     …3
(2) 过点A作x轴的垂线交x轴于点C，在Rt△AOC中，OC=，
AC=1，可得OA==2，ÐAOC=30°，由题意，ÐAOB=30°，
OB=OA=2，∴ÐBOC=60°，过点B作x轴的垂线交x轴于点D。
在Rt△BOD中，可得BD=，OD=1，∴B点坐标为(-1，)，…2
将x= -1代入y= -中，得y=，∴点B(-1，)在反比例函 数y= -的图像上。…1
(3) 由y= -得xy= -，∵点P(m，m+6)在反比例函数y= -的图像上，其中m<0 ∴m(m+6)= -，∴m²+2m+1=0，…1
∵PQ^x轴，∴Q点的坐标为(m，n)。
∵△OQM的面积是∴OM´QM=
∵m<0，∴mn= -1，                …1
∴m²n²+2mn²+n²=0，∴n²-2n= -1，∴n²-2n+9=8。…2
（1）由于反比例函数y=的图象经过点A(-，1)，运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；
（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；
（3）把点P(m，m+6)代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n²-2n+9的值．