Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC于点E．
（1）求证：AC是∠EAB的平分线；
（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的长．

Answer 1

分析：（1）要证明是角平分线，只要说明被AC分成的两个角相等，又因为在圆中半径相等，所以连接OC可以得到等腰三角形，也就有相等角了；
（2）因为OC∥AE所以△DCO∽△DEA，因此只要知道圆的半径就可以了，而半径又可以利用切线长定理求出，这样AE的长度就可以求出来了，根据弦切角定理∠DCB=∠DAC，所以可以把BC放到相似三角形内，根据相似三角形对应边成比例列出比例式就可以求解．

解答：（1）证明：如图，连接OC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE．
又∵AE⊥DE，
∴OC∥AE．
∴∠EAC=∠OCA．
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC是∠EAB的平分线．

（2）解：∵CD是⊙O的切线，
∴DC²=DB•DA，即4²=2•DA．
解得DA=8，∴AB=6．
由（1）知，OC∥AE，
∴△DCO∽△DEA．
∴

OC

AE

=

DO

DA

．
即

3

AE

=

5

8

．
解得AE=

24

5

．
∵DC是⊙O的切线，
∴∠DCB=∠DAC，又∠D=∠D．
∴△DCB∽△DAC．
∴

CB

AC

=

DC

DA

=

4

8

=

1

2

．
∴AC=2CB．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC²+BC²=AB²，即（2BC）²+（BC）²=6²
解得BC=

6 5

5

．

点评：本题综合性较强考查点较多，三角形相似、切线长定理、弦切角定理和勾股定理，要细心思考认真分析，思路还是比较好找的．