题目内容

【题目】□ABCD中,EF分别是ABCD的中点,AFDE相交于点GCEBF相交于点H

1)求证:四边形EHFG是平行四边形;

2)若四边形EHFG是矩形,则□ABCD应满足的条件是 (不需要证明)

【答案】1证明见解析;2AB=2AD.

【解析】试题分析:1)通过证明两组对边分别平行,可得四边形EHFG是平行四边形;(2)当平行四边形ABCD是矩形,并且AB=2AD时,先证明四边形ADFE是正方形,得出有一个内角等于90°,从而证明菱形EHFG为一个矩形.

试题解析:1)证明在平行四边形ABCD中,ABCDAB=CD

又∵EF分别是ABCD的中点,

AE=ABCF=CD

AE=CF

又∵AECF

∴四边形AECF是平行四边形

GFCH

同理EGHF

∴四边形EHGF是平行四边形.

2当平行四边形ABCD是矩形,并且AB=2AD时,平行四边形EHFG是矩形。

EF分别为ABCD的中点,且AB=CD

AE=DF,AEDF

∴四边形AEFD为平行四边形,

AD=EF

又∵AB=2ADEAB中点,则AB=2AE

于是有AE=AD=AB

这时,EF=AE=AD=DF=AB,EAD=FDA=90°

∴四边形ADFE是正方形,

EG=FG=AF,AFDE,EGF=90°

∴此时,平行四边形EHFG是矩形。

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