题目内容
【题目】在□ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.
(1)求证:四边形EHFG是平行四边形;
(2)若四边形EHFG是矩形,则□ABCD应满足的条件是 (不需要证明)
【答案】(1)证明见解析;(2)AB=2AD.
【解析】试题分析:(1)通过证明两组对边分别平行,可得四边形EHFG是平行四边形;(2)当平行四边形ABCD是矩形,并且AB=2AD时,先证明四边形ADFE是正方形,得出有一个内角等于90°,从而证明菱形EHFG为一个矩形.
试题解析:(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,
又∵E、F分别是AB、CD的中点,
∴AE=AB,CF=
CD,
∴AE=CF,
又∵AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴ GF∥CH,
同理EG∥HF,
∴四边形EHGF是平行四边形.
(2)当平行四边形ABCD是矩形,并且AB=2AD时,平行四边形EHFG是矩形。
∵E,F分别为AB,CD的中点,且AB=CD,
∴AE=DF,且AE∥DF,
∴四边形AEFD为平行四边形,
∴AD=EF,
又∵AB=2AD,E为AB中点,则AB=2AE,
于是有AE=AD=AB,
这时,EF=AE=AD=DF=AB,∠EAD=∠FDA=90°,
∴四边形ADFE是正方形,
∴EG=FG=AF,AF⊥DE,∠EGF=90°,
∴此时,平行四边形EHFG是矩形。

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