题目内容
【题目】如图,在正方形中,点E是对角线
上一点,连接
.过点E作
交
的延长线于点F.若
,
,则正方形
的面积为______.
【答案】16
【解析】
由∠EHC=∠BHF,∠CEH=∠FBH=90°可判定△ECH∽△BFH,从而得到∠ECH=∠BFH;作辅助线可证明四边形ENBM是正方形,根据正方形的性质得EM=EN,由角角边可证明△ENC≌△EMF,得CN=FM;因,可求MB的长度,从而求得CN和BC的长,可求出正方形ABCD的面积.
解:过点E作EN⊥BC,EM⊥AB,分别交BC、AB于N、M两点,
且EF与BC相交于点H.
∵EF⊥CE,∠ABC=90°,∠ABC+∠HBF=180°,
∴∠CEH=∠FBH=90°,
又∵∠EHC=∠BHF,
∴△ECH∽△BFH(AA),
∴∠ECH=∠BFH,
∵EN⊥BC,EM⊥AB,四边形ABCD是正方形,
∴四边形ENBM是正方形,
∴EM=EN,∠ENC=∠EMF=90°,
在△ENC和△EMF中
∴△ENC≌△EMF(AAS)
∴CN=FM,
又∵在正方形ENBM中,
∴MB=BN=1,
∵BF=2
∴MF=CN=1+2=3
∴BC=4
∴正方形ABCD的面积为16
故答案为:16.
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