题目内容
【题目】在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,点M为BC边上一动点(点M与点B、C不重合),连接AM,过点M作MN⊥AM,垂足为M,MN交CD或CD的延长线于点N.
(1)求证:△CMN∽△BAM;
(2)设BM=x,CN=y,求y关于x的函数解析式.当x取何值时,y有最大值,并求出y的最大值;
(3)当点M在BC上运动时,求使得下列两个条件都成立的b的取值范围:①点N始终在线段CD上,②点M在某一位置时,点N恰好与点D重合.
【答案】(1)证明见试题解析;(2),当x=时,y取最大值,为;(3)b=2a.
【解析】
试题分析:(1)由矩形的性质可得∠B=∠C=90°,要证△CMN∽△BAM,只需证∠BAM=∠CMN即可;
(2)由△CMN∽△BAM即可得到y与x的函数解析式,然后只需运用配方法就可求出y的最大值;
(3)由点M在BC上运动(点M与点B、C不重合),可得0<x<b,要满足条件①,应保证当0<x<b时,y≤a恒成立,要满足条件②,需存在一个x,使得y=a,综合条件①和②,当0<x<b时y最大值应为a,然后结合(2)中的结论,就可解决问题.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAM+∠AMB=90°.∵MN⊥AM,即∠AMN=90°,∴∠CMN+∠AMB=90°,∴∠BAM=∠CMN,∴△CMN∽△BAM;
(2)∵△CMN∽△BAM,∴.∵BM=x,CN=y,AB=a,BC=AD=b,∴,∴=.∵<0,∴当x=时,y取最大值,最大值为;
(3)由题可知:当0<x<b时,y的最大值为a,即=a,解得:b=2a.∴要同时满足两个条件,b的值为2a.
【题目】广州市某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动,了解学校1200名学生一年内阅读书籍的数量,随机抽取部分学生进行统计,绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图.请根据图表,解答下面的问题:
分组 | 频数 | 频率 |
0≤x<5 | 4 | 0.08 |
5≤x<10 | 14 | 0.28 |
10≤x<15 | 16 | a |
15≤x<20 | b | c |
20≤x<25 | 10 | 0.2 |
合计 | d | 1.00 |
(1)a= , b= , c= , d= .
(2)补全频数分布直方图.
(3)根据该样本,估计该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数.
(4)如果阅读书籍数量在10本或以上的人数占总人数的70%以上,那么该校能评为“书香校园”,请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉,并说明理由.