题目内容

【题目】在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,点M为BC边上一动点(点M与点B、C不重合),连接AM,过点M作MN⊥AM,垂足为M,MN交CD或CD的延长线于点N.

(1)求证:△CMN∽△BAM;

(2)设BM=x,CN=y,求y关于x的函数解析式.当x取何值时,y有最大值,并求出y的最大值;

(3)当点M在BC上运动时,求使得下列两个条件都成立的b的取值范围:①点N始终在线段CD上,②点M在某一位置时,点N恰好与点D重合.

【答案】(1)证明见试题解析;(2)当x=时,y取最大值,为;(3)b=2a.

【解析】

试题分析:(1)由矩形的性质可得B=C=90°,要证CMN∽△BAM,只需证BAM=CMN即可;

(2)由CMN∽△BAM即可得到y与x的函数解析式,然后只需运用配方法就可求出y的最大值;

(3)由点M在BC上运动(点M与点B、C不重合),可得0<x<b,要满足条件①,应保证当0<x<b时,y≤a恒成立,要满足条件②,需存在一个x,使得y=a,综合条件①和②,当0<x<b时y最大值应为a,然后结合(2)中的结论,就可解决问题.

试题解析:(1)四边形ABCD是矩形,∴∠B=C=90°,∴∠BAM+AMB=90°.MNAM,即AMN=90°,∴∠CMN+AMB=90°,∴∠BAM=CMN,∴△CMN∽△BAM;

(2)∵△CMN∽△BAM,BM=x,CN=y,AB=a,BC=AD=b,=<0,当x=时,y取最大值,最大值为

(3)由题可知:当0<x<b时,y的最大值为a,即=a,解得:b=2a.要同时满足两个条件,b的值为2a.

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