Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax²+bx交于点C、D．已知点C的坐标为（2，1），点D的横坐标为

1

2

．
（1）求点D的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）抛物线在x轴上方部分是否存在一点P，使△POA的面积比△POB的面积大4？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
（4）将题中的抛物线y=ax²+bx沿x轴平移，当抛物线经过点B时，请直接写出平移的方向和距离．

Answer 1

（1）将点C坐标代入y=kx+2得：
1=2k+2
解得k=-

1

2

则y=-

1

2

x+2
当x=

1

2

时，y=

7

4

故D（

1

2

，

7

4

）；

（2）将点C、D坐标代入y=ax²+bx得：

1=4a+2b 7 4 = 1 4 a+ 1 2 b

，
解得：

a=-2 b= 9 2

故y=-2x²+

9

2

x；

（3）∵y=-

1

2

x+2当y=0时x=4，当x=0时y=2
∴A（4，0），B（0，2）
∴OA=4，OB=2
设P（m，-2m²+

9m

2

）
则S△POA=

1

2

×4×（-2m²+

9m

2

）=-4m²+9m
S△POB=

1

2

×2×m=m
当-4m²+9m=m+4时，解得m=1
∴-2m²+

9m

2

=

5

2

∴存在点P（1，

5

2

）；

（4）将y=-2x²+

9

2

x向左平移

9± 17

8

个单位后，经过点B．