Question

【题目】如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线D1：y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线L：y＝x+m过顶点C和点B．

（1）求抛物线D1：y＝ax2+b（a≠0）的解析式；

（2）点D（0，），在x轴上任取一点Q（x，0），连接DQ，作线段DQ的垂直平分线l1，过点Q作x轴的垂线，记l2，l2与l1的交点为P（x，y），在x轴上多次改变点Q的位置，相应的点P也在坐标系中形成了曲线路径D2，写出点P（x，y）的路径D2所满足的关系式（即x，y所满足的关系式），能否通过平移、轴对称或旋转变换，由抛物线D1得到曲线D2？请说明理由．

（3）抛物线D1上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3；（2）可将抛物线D1向上平移个单位长度得到曲线D2；理由见解析；（3）M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．理由见解析.

【解析】

（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可得得B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线D1的解析式；

（2）如图1，连接PD，根据垂直平分线的性质可得PD=PQ，根据两点间距离公式可得出y与x的关系式，根据二次函数图象的平移规律即可得答案；

（3）如图2，根据点B、C坐标可得△OBC是等腰直角三角形，可得∠OCB＝45°，分点M在点B上方和下方两种情况，分别求出CE、CF的解析式，并与抛物线D1联立，求出点M的坐标即可.

（1）∵点C（0，-3）和点B在直线L上，

∴当x＝0时，y＝m=-3；

∴当y＝0时，x＝﹣m=3，

∴B（3，0），

∵抛物线D1：y＝ax2+b的顶点为C（0，﹣3），且经过点B，

∴，

解得：，

∴抛物线D1：y＝ax2+b的解析式为y＝x2﹣3.

（2）如图1，连接PD，

∵l1是线段DQ的垂直平分线

∴PD＝PQ，

∵P（x，y），D（0，），Q（x，0），

∴x2+（y﹣）2＝y2，

整理，得y＝x2+，

∴路径D2所满足的关系式为y＝x2+，

∵﹣（﹣3）＝，

∴可将抛物线D1向上平移个单位长度得到曲线D2.

（3）∵C（0，﹣3），B（3，0），

∴OB＝OC，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OCB=∠OBC＝45°，

①如图2，若点M在点B上方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°+15°＝60°，

∵∠MCB=15°，

∴∠OCE=∠OBC-∠MCB=30°，

∴CE=2OE，

∴OE2+OC2=CE2=(2OE)2，即OE2+9=4OE2，

∴OE＝（负值舍去），

∴点E（，0），

设直线CE解析式为y＝kx﹣3，

∴k-3=0，

解得：k＝，

∴yCE＝x﹣3，

联立，得，

解得，或，

∴M1（3，6）；

②如图2，若点M在点B下方，设MC交x轴于点F，

∴∠OFC＝∠OBC-∠MCB=45°﹣15°＝30°，

∴CF=2OC=6，

∴OF＝＝3，

∴点F（3，0），

设直线CF解析式为y＝kx﹣3，

∴3k-3=0，

解得：k＝，

∴yCF＝x﹣3，

联立，得，

解得，或，

∴M2（，﹣2），

综上所述，M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．