Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（ ）
A.105°
B.110°
C.130°
D.145°

Answer 1

【答案】D
【解析】解：连接PD，如图，连接AP并延长交BC于E， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= （180°﹣∠A）= （180°﹣40°）=70°，
∵CD=CB，
∴∠D=∠CBD，
而∠ACB=∠D+∠CBD，
∴∠CBD= ∠ACB=35°，
∴∠ABD=35°+70°=105°，
∵点P是△ABD的内心，
∴AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，
∴AE垂直平分BC，∠PBD= ∠ABD=52.5°，
∴∠PBC=52.5°﹣35°=22.5°，
∵PE垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=22.5°，
∴∠BPC=180°﹣22.5°﹣22.5°=145°．
故选D．

【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对三角形的内切圆与内心的理解，了解三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心．