Question

【题目】如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1）在双曲线C：y= 上，直线l1：y=﹣x+2，直线l2与l1关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1 ， l2于M，N两点．

（1）求双曲线C及直线l2的解析式；
（2）求证：PF2﹣PF1=MN=4；
（3）如图2所示，△PF1F2的内切圆与F1F2 ， PF1 ， PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则A、B两点间的距离公式为AB= ．）

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣2，﹣1）代入y= 中得：

a=（﹣2）×（﹣1）=2，

∴双曲线C：y= ，

∵直线l1与x轴、y轴的交点分别是（2，0）、（0，2），它们关于原点的对称点分别是（﹣2，0）、（0，﹣2），

∴l2：y=﹣x﹣2

（2）

解：设P（x， ），

由F1（2，2）得：PF12=（x﹣2）2+（ ﹣2）2=x2﹣4x+ ﹣ +8，

∴PF12=（x+ ﹣2）2，

∵x+ ﹣2= = ＞0，

∴PF1=x+ ﹣2，

∵PM∥x轴

∴PM=PE+ME=PE+EF=x+ ﹣2，

∴PM=PF1，

同理，PF22=（x+2）2+（ +2）2=（x+ +2）2，

∴PF2=x+ +2，PN=x+ +2

因此PF2=PN，

∴PF2﹣PF1=PN﹣PM=MN=4

（3）

解：

△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，

∴ PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4

又∵QF2+QF1=F1F2=4 ，QF1=2 ﹣2，

∴QO=2，

∵B（ ， ），

∴OB=2=OQ，

所以，点Q与点B重合

【解析】（1）利用点A的坐标求出a的值，根据原点对称的性质找出直线l2上两点的坐标，求出解析式；（2）设P（x， ），利用两点距离公式分别求出PF1、PF2、PM、PN的长，相减得出结论；（3）利用切线长定理得出 ，并由（2）的结论PF2﹣PF1=4得出PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4，再由两点间距离公式求出F1F2的长，计算出OQ和OB的长，得出点Q与点B重合．此题主要考查了圆的综合应用以及反比例函数的性质等知识，将代数与几何融合在一起，注意函数中线段的长可以利用本题给出的两点距离公式解出，也可以利用勾股定理解出；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
【考点精析】本题主要考查了反比例函数的性质的相关知识点，需要掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能正确解答此题．