Question

设a₁=3²﹣1²，a₂=5²﹣3²，…，a_n=（2n+1）²﹣（2n﹣1）²（n为大于0的自然数）．
（1）探究a_n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a₁，a₂，…，a_n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a_n为完全平方数（不必说明理由）．

Answer 1

（1）两个连续奇数的平方差是8的倍数 （2）n为一个完全平方数的2倍时

试题分析：（1）利用平方差公式，将（2n+1）²﹣（2n﹣1）²化简，可得结论；
（2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律．
解：（1）∵a_n=（2n+1）²﹣（2n﹣1）²=4n²+4n+1﹣4n²+4n﹣1=8n，（3分）
又n为非零的自然数，
∴a_n是8的倍数．（4分）
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（5分）
说明：第一步用完全平方公式展开各（1），正确化简（1分）．
（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．（7分）
n为一个完全平方数的2倍时，a_n为完全平方数（8分）
说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错2个及以上扣（2分）．
点评：本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力．