题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AD是BC上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sin∠C= ,BC=12,求AD的长.
【答案】
(1)证明:∵AD是BC上的高,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,∠ADC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ADC中,
∵tanB= ,cos∠DAC= ,
又∵tanB=cos∠DAC,
∴ = ,
∴AC=BD.
(2)解:在Rt△ADC中, ,
故可设AD=12k,AC=13k,
∴CD= =5k,
∵BC=BD+CD,又AC=BD,
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12,
∴18k=12,
∴k= ,
∴AD=12k=12× =8.
【解析】(1)由于tanB=cos∠DAC,所以根据正切和余弦的概念证明AC=BD;(2)设AD=12k,AC=13k,然后利用题目已知条件即可解直角三角形.
【考点精析】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点,需要掌握解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题.
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