题目内容

抛物线的解析式y=ax²+bx+c满足如下四个条件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-4；a＜b＜c．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．P是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD=1.5时，试比较S_△AOD与S_△DPC的大小．

解：（1）∵a≠0，abc=0，
∴bc=0
＜1＞当b=0时
由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∵a＜b＜c，
∴ $\text{[math]}$ ，（不合意，舍去）
∴a=-1，b=0，c=4．
＜2＞当c=0时
由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，
解之得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
∵a＜b＜c，
∴ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都不合题意，舍去．
∴所求的抛物线解析式为y=-x²+4．

（2）在y=-x²+4中，当y=0时，x=±2
∴A、B两点的坐标分别为（-2，0），（2，0），
过P作PG⊥x轴于G，设P（m，n）
∵点P在抛物线上且在第一象限内，
∴m＞0，n＞0，n=-m²+4
∴PG=-m²+4，OA=2，AG=m+2
∵OD∥PG，OD=1.5
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），
∴OG= $\text{[math]}$
∵当x=0时，y=4，
∴点C的坐标为（0，4）
∴DC=OC-OD=4-1.5=2.5 S_△PDC= $\text{[math]}$ CD•OG= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
S_△AOD= $\text{[math]}$ AO•OD= $\text{[math]}$ ×1.5×2= $\text{[math]}$
∴S_△PDC＞S_△AOD．
分析：（1）因为a不等于0故分别令c=0以及b=0时求出a，c的值．
（2）令y=0求出A，B两点的坐标．做PG⊥x轴于G，利用线段比求出m值，然后可求出各有关线段的值．最后求解．
点评：本题综合考查了二次函数的相关知识以及三角形面积的计算，难度较大．