题目内容
【题目】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣10n+25）＝0．
∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣5＝0．
∴n＝5，m＝5．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，求xy的值；
（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣16a﹣12b+100＝0，求△ABC的周长的最大值；
（3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由．
【答案】（1）
；（2）△ABC周长的最大值为27；（3）△ABC是等边三角形．
【解析】
（1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可．
（2）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可．
（3）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可．
解：（1）∵x2+2xy+2y2+4y+4＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+4y+4）＝0
∴（x+y）2+（y+2）2＝0，
∴x+y＝0，y+2＝0，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴
．
（2）∵a2+b2﹣16a﹣12b+100＝0
∴（a2﹣16a+64）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣8）2+（b﹣6）2＝0，
∴a＝8，b＝6
由三角形的三边关系可知2＜c＜14且c为正整数
∴c的最大值是13．
∴△ABC周长的最大值为27．
（3）结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b，b＝c，
即a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
