Question

如图，已知△ABC是等边三角形，点D是AC边上一动点，△BDE是等边三角形，连接AE．
（1）求证：△EBA≌△DBC；EA∥BC；
（2）当点D是AC边的中点，其他条件不变时，指出图中所有的垂直关系（不添加新的字母和线段）．

Answer 1

分析：（1）由△ABC和△BDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到每一个内角为60°，三边长相等，再由等式的性质得到∠ABE=∠CBD，利用SAS可得出△EBA≌△DBC，由全等三角形的对应角相等得到∠EAB=∠DCB=60°，而∠ABC=60°，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得到EA与BC平行；
（2）图中所有的垂直关系为：BD⊥AC，AB⊥ED，AE⊥EB，EB⊥BC，理由分别为：当D为AC中点时，由三角形ABC为等边三角形，利用三线合一得到BD垂直于AC，BD为角平分线，得出∠ABD=30°，又∠EDB=60°，利用三角形的内角和定理及垂直的定义得到ED与AB垂直，由∠ABE=30°，∠EAB=60°，得到∠AEB为直角，可得出AE与EB垂直，由EA与BC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠EBC为直角，即EB垂直于BC．

解答：解：（1）证明：∵△ABC和△BDE都为等边三角形，
∴∠EBD=∠ABC=∠DCB=60°，EB=DB，AB=BC，
∴∠EBD-∠ABD=∠ABC-∠ABD，即∠ABE=∠CBD，
在△EBA和△DBC中，

EB=DB ∠ABE=∠CBD BA=BC

，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠EAB=∠DCB=60°，又∠ABC=60°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴EA∥BC；
（2）图中的垂直关系为：BD⊥AC，AB⊥ED，AE⊥EB，EB⊥BC．

点评：此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．