Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取AD=BC，连接BD．

（1）通过计算，判断AD2与ACCD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=BC=1，BC= ，

∴AD= ，DC=1﹣ = ．

∴AD2= = ，ACCD=1× = ．

∴AD2=ACCD

（2）

解：∵AD=BD，AD2=ACCD，

∴BD2=ACCD，即 ．

又∵∠C=∠C，

∴△BCD∽△ABC．

∴ ，∠DBC=∠A．

∴DB=CB=AD．

∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．

设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴x+2x+2x=180°．

解得：x=36°．

∴∠ABD=36°

【解析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与ACCD的值，从而可得到AD2与ACCD的关系；（2）由（1）可得到BD2=ACCD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定的相关知识，掌握相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．