Question

【题目】(2016浙江省舟山市第23题)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究；

如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展；

如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

Answer 1

【答案】(1)、矩形或正方形；(2)、AC=BD，理由见解析；(3)、10或12﹣．

【解析】

试题分析：(1)、矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；(2)、AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；(3)、分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．

试题解析：(1)、矩形或正方形；

(1)、AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：

∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线， ∴PA=PD，PC=PB， ∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，

∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC， ∴∠APC=∠DPB， ∴△APC≌△DPB（SAS）， ∴AC=BD；

(3)、分两种情况考虑：

（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E， 如图3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′， 设EB=ED′=x， 由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2， 解得：x=4.5，

过点D′作D′F⊥CE于F， ∴D′F∥AC， ∴△ED′F∽△EAC， ∴，即，

解得：D′F=，

∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，

则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；

（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E， 如图3（ii）所示，

∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3， 在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE=，

∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，

则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．