Question

【题目】如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（ ）

A.10.5
B.7 ﹣3.5
C.11.5
D.7 ﹣3.5

Answer 1

【答案】A
【解析】解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB= AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF= AB=3.5，
∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．
故选A．
【考点精析】掌握三角形中位线定理和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．