Question

【题目】如图所示，已知△ABC.

（1）用直尺和圆规作∠A的平分线和边BC的垂直平分线；

（要求：不写作法，但需要保留画图痕迹）

（2）设（1）中的和直线交于点P，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F.请你探究BE和CF之间的数量关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）BE=CF.

【解析】

（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC相交，再以这两点为圆心，以大于它们长度的为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与交点作射线即为∠A的平分线；分别以点B、C为圆心，以大于BC长度为半径画弧，在BC的两边分别相交于一点，过这两点作直线即为BC的垂直平分线；
（2）结论BE=CF．利用全等三角形的性质即可证明.

（1）

（2）BE=CF.

连接PB和PC

∵AP平分∠CAB，PE⊥AB，PF⊥AC

∴PE=PF.

∵l2垂直平分BC边,

∴PC=PB.

由HL证明△PFC≌△PEB

∴BE=CF.