题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10 cm，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE =2cm，连结PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）①CE= （用含t的式子表示）
②若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）①CE=2t －2②
（2）存在，t=4或12s
【解析】分析：（1）作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BM=CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AM=
BC=5，证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP=t，CE=NE=5-t，由CE=CQ-QE=2t-2得出方程，解方程即可；
（2）由平行四边形的判定得出AP=BE，分类讨论得出方程，解方程即可．
详解：（1）①CE= 2t －2（用含t的式子表示）
②作AM⊥BC于M，如图所示：
∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠C=45°=∠B，
∴AB=AC，
∴BM=CM，
∴
∵AD∥BC，
∴∠PAN=∠C=45°，
∵PE⊥BC，
∴PE=AM=5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，
∵CE=CQ-QE=2t-2，
∴5-t=2t-2，
解得： 
;
（2）存在，t=4或12s；理由如下：
（ⅰ）当点Q、E在线段BC上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP=BE，
∴t=10-2t+2，
解得：t=4，
（ⅱ）当点Q、E在线段CB的延长线上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形
则AP=BE，
t=2t-2-10
解得：t=12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或12 s。
