题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=10 cm,过点AAD∥BC,且点D在点A的右侧.点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动,同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动,在线段QC上取点E,使得QE =2cm,连结PE,设点P的运动时间为t秒.

(1)①CE= 用含t的式子表示)

PE⊥BC,BQ的长;

(2)请问是否存在t的值,使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。

【答案】(1)①CE=2t -2②(2)存在,t=412s

【解析】分析:(1)作AM⊥BC于M,由已知条件得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BM=CM,由直角三角形斜边上的中线性质得出AM=BC=5,证出△APN和△CEN是等腰直角三角形,得出PN=AP=t,CE=NE=5-t,由CE=CQ-QE=2t-2得出方程,解方程即可;
(2)由平行四边形的判定得出AP=BE,分类讨论得出方程,解方程即可.

详解:(1)①CE= 2t -2(用含t的式子表示)

AM⊥BCM,如图所示:

∵∠BAC=90°,∠B=45°,

∴∠C=45°=∠B,

∴AB=AC,

∴BM=CM,

∵AD∥BC,

∴∠PAN=∠C=45°,

∵PE⊥BC,

∴PE=AM=5,PE⊥AD,

∴△APN△CEN是等腰直角三角形,

∴PN=AP=t,CE=NE=5-t,

∵CE=CQ-QE=2t-2,

∴5-t=2t-2,

解得: ;

(2)存在,t=412s;理由如下:

(ⅰ)当点Q、E在线段BC上时,

若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形,

AP=BE,

∴t=10-2t+2,

解得:t=4,

(ⅱ)当点Q、E在线段CB的延长线上时,

若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形

AP=BE,

t=2t-2-10

解得:t=12

存在t的值,使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形,t=412 s。

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