题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=10 cm,过点A作AD∥BC,且点D在点A的右侧.点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动,同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动,在线段QC上取点E,使得QE =2cm,连结PE,设点P的运动时间为t秒.
(1)①CE= (用含t的式子表示)
②若PE⊥BC,求BQ的长;
(2)请问是否存在t的值,使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)①CE=2t -2②(2)存在,t=4或12s
【解析】分析:(1)作AM⊥BC于M,由已知条件得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BM=CM,由直角三角形斜边上的中线性质得出AM=BC=5,证出△APN和△CEN是等腰直角三角形,得出PN=AP=t,CE=NE=5-t,由CE=CQ-QE=2t-2得出方程,解方程即可;
(2)由平行四边形的判定得出AP=BE,分类讨论得出方程,解方程即可.
详解:(1)①CE= 2t -2(用含t的式子表示)
②作AM⊥BC于M,如图所示:
∵∠BAC=90°,∠B=45°,
∴∠C=45°=∠B,
∴AB=AC,
∴BM=CM,
∴
∵AD∥BC,
∴∠PAN=∠C=45°,
∵PE⊥BC,
∴PE=AM=5,PE⊥AD,
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形,
∴PN=AP=t,CE=NE=5-t,
∵CE=CQ-QE=2t-2,
∴5-t=2t-2,
解得: ;
(2)存在,t=4或12s;理由如下:
(ⅰ)当点Q、E在线段BC上时,
若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形,
则AP=BE,
∴t=10-2t+2,
解得:t=4,
(ⅱ)当点Q、E在线段CB的延长线上时,
若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形
则AP=BE,
t=2t-2-10
解得:t=12
∴存在t的值,使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形,t=4或12 s。
