Question

【题目】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC且2DE=BC，

又∵BE=2DE，EF=BE，

∴EF=BC，EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形，

又∵BE=FE，

∴四边形BCFE是菱形

（2）解：∵∠BCF=120°，

∴∠EBC=60°，

∴△EBC是等边三角形，

∴菱形的边长为4，高为2 ，

∴菱形的面积为4×2 =8

【解析】（1）由已知D，E分别是AB，AC的中点，得到DE是△ABC的中位线，根据中位线定理，得到DE∥BC且2DE=BC，再根据一组邻边相等的平行四边形是是菱形，即可得证。
（2）根据已知易证得△EBC是等边三角形，就可求出此菱形的边长，再根据勾股定理求出菱形的高，即可求出菱形的面积。也可以连接BF，求出BF的长，根据菱形的面积等于两对角线之积的一半。
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对三角形中位线定理的理解，了解连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．