Question

（10分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为 上
点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．
（1）求证△ABD为等腰三角形．
（2）求证AC•AF＝DF•FE．

Answer 1

（1）证法一：连CF、BF
∠ACD=∠MCD=∠CDB＋∠CBD=∠CFB＋∠CFD=∠DFB
而∠ACD=∠DFB=∠DAB又∠ACD=∠DBA
∴∠DAB=∠DBA   ∴△ABD为等腰三角形  ……（4分）
证法二：
由题意有∠MCD=∠ACD =∠DBA,又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°,
∴∠MCD=∠DAB，∴∠DAB=∠DBA即△.ABD为等腰三角形    ……（4分）
（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴弧CD=弧DF,∴弧CD=弧DF……①                     ……（5分）
又BC=AF,∴∠BDC=∠ADF,∠BDC＋∠BDA=∠ADF＋∠BDA，即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE＋∠BAF=∠BDF＋∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE                                    ……（8分）
∴在△CDA与△FDE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE
∴△CDA∽△FAE
∴,即CD·EF=AC·AF，又由①有AC·AF=DF·EF
命题即证                                             ……（10分）

略