Question

如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上．
（1）直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y=ax²+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；
（3）若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM＜NM、PM=MN、PM＞MN成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质知：∠CBD、∠DBE、∠EBA都相等，因此∠ABE=∠CBD=30°；
在Rt△ABE中，已知了∠ABE=30°，而AB=OC=6，由此可求出BE即BC的长，即可得到B点的坐标；在Rt△BCD中，已知∠CBD的度数及BC的长，通过解直角三角形可求出CD的长，也就得到了D点的坐标，进而可用待定系数法求出直线BD的解析式；
（2）由于∠AEB=∠BEF=60°，易求得∠FEG=60°；在Rt△BEF中，BE的长在（1）中已求得，∠EBF=30°，即可求出EF的长；进而可在Rt△FEG中通过解直角三角形求出FG、GE的值，即可得到H点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）根据直线BD和抛物线的解析式分别表示出M、P的纵坐标，进而可得到MN、PM的表达式，也就能得到关于h、x的函数关系式，可根据所得函数的性质来判断出PM＜NM、PM=MN、PM＞MN成立的x的取值范围．

解答：解：（1）∠ABE=∠CBD=30°
在△ABE中，AB=6
BC=BE=

AB

cos30°

=4

3

CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B（4

3

，6），D（0，2）
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b；

4 3 k+b=6 b=2

，
∴

k= 3 3 b=2

；
所以BD所在直线的函数解析式是y=

3

3

x+2；

（2）∵EF=EA=ABtan30°=2

3

，∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°；
又∵FG⊥OA，
∴FG=EFsin60°=3，GE=EFcos60°=

3

，OG=OA-AE-GE=

3

又H为FG中点
∴H（

3

，

3

2

）（4分）
∵B（4

3

，6）、D（0，2）、H（

3

，

3

2

）在抛物线y=ax²+bx+c图象上

48a+4 3 b+c=6 c=2 3a+ 3 b+c= 3 2

∴

a= 1 6 b=- 3 3 c=2

∴抛物线的解析式是y=

1

6

x2-

3

3

x+2；

（3）∵MP=(

3

3

x+2)-(

1

6

x2-

3

3

x+2)=-

1

6

x2+

2 3

3

x
MN=6-(

3

3

x+2)=4-

3

3

x
h=MP-MN=(-

1

6

x2+

2 3

3

x)-(4-

3

3

x)=-

1

6

x2+

3

x-4
由-

1

6

x2+

3

x-4=0
得x1=2

3

，x2=4

3

该函数简图如图所示：
当0＜x＜2

3

时，h＜0，即PM＜MN
当x=2

3

时，h=0，即PM=MN
当2

3

＜x＜4

3

时，h＞0，即PM＞MN．

点评：此题主要考查了矩形的性质、图形的折叠变换、一次函数及二次函数解析式的确定、二次函数的应用等知识．