Question

【题目】如图，D是的BC边上一点，连接AD，作的外接圆，将沿直线AD折叠，点C的对应点E落在的外接圆上．

（1）求证：AE=AB．

（2）若，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BC=3.

【解析】

（1）由翻折的性质得出∠AED=∠ACD，AE=AC，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ABD=∠AED，根据等量代换得出∠ABD=∠ACD，根据等角对等边得出AB=AC，从而得出结论；（2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出BH=EH=1，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠ABE=∠AEB=ADB，根据等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出，从而得出AC=AB=3，根据等腰直角三角形的性质求出BC的长即可.

（1）∵将沿直线AD折叠，点C的对应点E落在的外接圆上，

∴∠AED=∠ACD，AE=AC，

∵∠ABD和∠AED是所对的圆周角，

∴∠ABD=∠AED，

∴∠ABD=∠ACD，

∴AB=AC，

∴AE=AB.

（2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，

∵AB=AE，AH⊥BE，BE=2，

∴BH=EH=BE=1，∠AEB=∠ABE，

∵∠ADB和∠AEB是所对的圆周角，

∴∠ADB=∠AEB，

∴∠ABE=∠ADB，

∵，

∴cos∠ABE=，

∴AB=3BH=3，

∵AB=AC，∠CAB=90°，

∴BC=AB=3.