Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点E，AD⊥EC，垂足为D，且AD交⊙O于点F．
求证：（1）弧BC=弧CF；
（2）EC•CD=EB•DA．

Answer 1

证明：（1）连接OC，
∵CD是圆的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥EC，
∴AD∥OC，
∴∠OCA=∠CAD，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD，
∴弧BC=弧CF；

（2）连接BC，
∵ED是圆的切线，
∴∠BCE=∠A，
∵∠E=∠E，
∴△EBC∽△ECA，
∴EB：EC=AC：AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ACB∽△ADC，
∴AD：CD=AC：AB，
∴EB：EC=AD：CD
∴EC•CD=EB•DA．
分析：（1）若证明弧BC=弧CF，则可转化为证明∠BAC=∠CAD即可；
（2）连接CB，证明△EBC
点评：本题考查圆的切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及比例式的证明方法，题目的综合性较强，难度中等．