Question

【题目】已知：二次函数y=x2+2mx+2n，交x轴于A,B两点(A在B的左侧)

（1）当m=3时，n=4时， ①求A、B两点坐标；②将抛物线向右平移k个单位后交x轴于M、N（M在N的左侧），若B、M三等分AN，直接写出k的值；

（2）当m=1时，若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，求n的取值范围；

（3）记A(x1,0)、B(x2,0)，当m、n都是奇数时，x1、x2能否是有理数？若能，请举例验证，若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)① (-4,0)；(-2,0)；② 1 ； (2)-4＜n＜；(3)见解析

【解析】

(1)①当m=3时，n=4时，二次函数解析式为y=x2+6x+8，令y=0，解方程即可解决问题．

②根据条件求出点M的坐标即可解决问题．

(2)由题意可知，x=1时，y＜0；x=2时，y＞0；列出不等式即可解决问题．

(3)当m、n都是奇数时，x1、x2不可能是有理数．用反证法证明即可．

解：（1）当m＝3时，n＝4时，二次函数解析式为y＝x2+6x+8，

①令y＝0得到x2+6x+8＝0，解得x＝﹣2或﹣4，∴A（﹣4，0），B（﹣2，0）．

故答案为：A(-4,0),B(-2,0).

②∵抛物线向右平移k个单位后交x轴于M、N（M在N的左侧），

B、M三等分AN，AB＝2，

∴AM＝BM＝1，

∴M（﹣3，0），即k＝1．

故答案为：k=1.

（2）∵m＝1时，抛物线的对称轴x＝﹣1，

∴线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，这些整数为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，

∴x＝1时，y＜0；x＝2时，y＞0；

∴，解得：-4＜n＜．

故答案为：-4＜n＜．

（3）当m、n都是奇数时，x1、x2不可能是有理数．

理由：假设m、n都是奇数时，x1、x2是有理数，

∵x1x2＝2n，

∴x1，x2中肯定一个是奇数，一个是偶数，

∴x1+x2一定是奇数，由题意x1+x2=-2m是偶数，与假设矛盾，

∴假设不成立，

∴当m、n都是奇数时，x1、x2不可能是有理数．

故答案为：当m、n都是奇数时，x1、x2不可能是有理数．