题目内容
【题目】如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点坐标为M(1,﹣4).
(1)求出图象与x轴的交点A、B的坐标;
(2)在y轴上存在一点Q,使得△QMB周长最小,求出Q点坐标.
【答案】(1)A点和B点坐标为(﹣1,0),(3,0);(2)满足条件的Q点的坐标为(0,﹣).
【解析】
(1) 已知顶点坐标代入解析式,再求得y=0时的x值即可确定点A、B的坐标.
(2)△QMB的周长=QM+QB+MB,而线段MB长度为确定值,所以只需确定QM+QB的和最小即可,做点B关于y轴的对称点C,连接CM与y轴交点即为点Q,求得直线CM与y轴交点坐标即可.
解:(1)∵抛物线的顶点坐标为M(1,﹣4).
∴抛物线解析式为y=(x﹣1)2﹣4,
当y=0时,(x﹣1)2﹣4=0,解得x1=3,x2=﹣1,
∴A点和B点坐标为(﹣1,0),(3,0);
(2)作B点关于y轴的对称点C,如图,则C(﹣4,0),
连接MC交y轴于Q,
∵QB=GC,
∴QM+QB=QM+QC=MC,
∴此时QM+QB的值最小,△QMB周长最小,
设直线MC的解析式为y=ax+b,
把M(1,﹣4),C(﹣3,0)代入得,解得,
∴直线MC的解析式为y=,
当x=0时,y=0=﹣,
∴满足条件的Q点的坐标为(0,﹣3).
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