Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点与C点是直线y＝x﹣3与x轴、y轴的交点．D为线段AB上一点．

（1）求抛物线的解析式及A点坐标．

（2）若点D在线段OB上，过D点作x轴的垂线与抛物线交于点E，求出点E到直线BC的距离的最大值．

（3）D为线段AB上一点，连接CD，作点B关于CD的对称点B′，连接AB′、B′D

①当点B′落坐标轴上时，求点D的坐标．

②在点D的运动过程中，△AB′D的内角能否等于45°，若能，求此时点B′的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），A（﹣2，0）；（2）E到BC的最大距离为；（3）①D1（0，0）；D2（3，0）；②B′坐标为（0，3）或（-3）或（，）或（﹣，）．

【解析】

（1）求出B，C两点的坐标，代入抛物线解析式即可得出答案；

（2）设E点横坐标为m，则F（m，m3），过点E作EH⊥BC于点H，EF＝yFyE＝，利用二次函数的性质可求出E到直线BC的距离的最大值；

（3）①点B′在以C为圆心，CB为半径的圆C上．所以满足条件的B′有两个，分别位于y轴、x轴，结合对称的性质解答即可；

②分不同的情况进行讨论：

（Ⅰ）当点B′位于y轴上，易得点B′的坐标；

（Ⅱ）如图3，连接CB′，构造菱形DB′CB，根据菱形的性质求得B′（3，3）；

（Ⅲ）∠B′AD＝45°，如图4，连接CB′，过点B′分别作坐标轴的垂线，垂足为E、F，在直角△CFB′中，由勾股定理知m2＋（5m）2＝（3）2，解出m即可；

（Ⅳ）如图5，∠AB′D＝45°，连接CB’，过点B′作y轴的垂线，垂足为点F，由轴对称性质可得当∠AB′D＝45°时，点A在线段CB′上，结合勾股定理求得m的值，进而求得符合条件的点B′的坐标．

（1）∵B点与C点是直线y＝x﹣3与x轴、y轴的交点．

∴B（3，0），C（0，﹣3），

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为，

令y＝0，则，

解得x1＝﹣2，x2＝3，

∴A（﹣2，0）；

（2）设E点到直线BC的距离为d，E点横坐标为m，F（m，m﹣3），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴∠OBC＝45°，

如图1，过点E作EH⊥BC于点H，

则△EFH为等腰直角三角形，

∴EH＝，

EF＝yF﹣yE＝m﹣3﹣(），

＝（0≤m≤3），

＝，

当时，EF的最大值为，

∴d＝EF＝＝．

即E到BC的最大距离为；

（3）①点B′在以C为圆心，CB为半径的圆C上；

（Ⅰ）当B′点落在x轴上时，D1（0，0）；

（Ⅱ）当B′点落在y轴上时，如图2，CB′＝CB＝3，

∵∠OB′D＝45°

∴OD＝OB’＝3﹣3，

∴；

②分别画出图形进行讨论求解：

（Ⅰ）∠B′DA＝45°时，如图2，OB′＝3﹣3，B′（0，3﹣3）

（Ⅱ）如图3，连接CB′，∠B′DA＝∠CBD＝45°，

∴DB′∥BC，可得四边形DB′CB是菱形，

B′（﹣3，﹣3）．

（Ⅲ）∠B′AD＝45°，如图4，连接CB′，过点B′分别作坐标轴的垂线，垂足为E、F，

设线段FB’的长为m，B′E＝AE＝2﹣m，可得CF＝5﹣m，

在直角三角形CFB’中，m2+（5﹣m）2＝（3）2，

解得m＝，

故B′（），

（Ⅳ）如图5，∠AB′D＝45°，连接CB’，过点B′作y轴的垂线，垂足为点F，

由轴对称性质可得，∠CB′D＝∠CBD＝45°，所以当∠AB′D＝45°时，点A在线段CB′上，

∴，

设线段FB′的长为2m，FC＝3m，（2m）2+（3m）2＝，

解得：m＝，B′，

综合以上可得B′坐标为（0，）或或（）或．