题目内容
【题目】如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】
（1）证明：由题意得：AE=2t，CD=4t，
∵DF⊥BC，
∴∠CFD=90°，
∵∠C=30°，
∴DF= 
CD= ×4t=2t，
∴AE=DF；
∵DF⊥BC，
∴∠CFD=∠B=90°，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形
（2）证明：四边形AEFD能够成为菱形，理由是：
由（1）得：AE=DF，
∵∠DFC=∠B=90°，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
若AEFD为菱形，则AE=AD，
∵AC=100，CD=4t，
∴AD=100﹣4t，
∴2t=100﹣4t，
t= 
，
∴当t= 时，四边形AEFD能够成为菱形；
（3）证明：分三种情况：
①当∠EDF=90°时，如图3，
则四边形DFBE为矩形，
∴DF=BE=2t，
∵AB= AC=50，AE=2t，
∴2t=50﹣2t，
t= 
，
②当∠DEF=90°时，如图4，
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=2t，
∴AD=t，
∴AC=AD+CD，
则100=t+4t，
t=20，
③当∠DFE=90°不成立；
综上所述：当t为 或20时，△DEF为直角三角形
【解析】（1）根据时间和速度表示出AE和CD的长，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长为4t，则AE=DF，再证明，AE∥DF即可解决问题．（2）根据（1）的结论可以证明四边形AEFD为平行四边形，如果四边形AEFD能够成为菱形，则必有邻边相等，则AE=AD，列方程求出即可；（3）当△DEF为直角三角形时，有三种情况：①当∠EDF=90°时，如图3，②当∠DEF=90°时，如图4，③当∠DFE=90°不成立；分别找一等量关系列方程可以求出t的值．
