Question

（1）(3分)如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）；
（2）(3分)将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD∶GC∶EB；
（3）(2分)把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知ＤA∶AB＝HA∶AE＝m: n，此时HD∶GC∶EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．

Answer 1

（1）HD:GC:EB＝１: :1（2）HD:GC:EB＝１::1（3）有变化，HD:GC:EB＝

解：（1）HD:GC:EB＝１: :1。
（2）连接AG、AC，
∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，
∴AD:AC＝AH:AG＝１:，∠DAC=∠HAG=45°。
∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。
∴HD:GC＝AD:AC＝１:。
∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。
又∵AD＝AB，AH＝AE，∴△DAH≌△BAE（SAS）。∴HD=EB。
∴HD:GC:EB＝１::1。
（3）有变化，HD:GC:EB＝。
（1）连接AG，
∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，
∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD。
∴A，G，C共线，AB－AE=AD－AH，∴HD=BE。
∵ 
∴GC=AC－AG=AB－AE= （AB－AE）= BE。
∴HD：GC：EB=1：：1。
（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值。
（3）连接AG、AC，
∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，
DA：AB=HA：AE=m：n，
∴∠ADC=∠AHG=90°，∴△ADC∽△AHG。
∴AD：AC=AH：AG=，∠DAC=∠HAG。
∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。
∴HD：GC=AD：AC=。
∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。
∵DA：AB=HA：AE=m：n，∴△ADH∽△ABE。∴DH：BE=AD：AB=m：n。
∴HD：GC：EB=。