题目内容

【题目】已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线

y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n).

(1)求这个抛物线的解析式;

(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和BCD的面积;

(3)P是线段OC上的一点,过点P作PHx轴,与抛物线交于H点,若直线BC把PCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标.

【答案】(1)、y=-x2-4x+5;(2)、15;(3)、(-,0)或(-,0).

【解析】

试题分析:(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数解析式;(2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标,过D作x轴的垂线交x轴于M,从而求出DMC、梯形MDBO和BOC的面积,然后得出面积;(3)、设P点的坐标为(a,0),得出直线BC的方程,则PH与直线BC的交点坐标为(a,a+5),PH与抛物线的交点坐标为H(a,-a2-4a+5),然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标.

试题解析:(1)、解方程x2-6x+5=0,得x1=5,x2=1.由m<n,m=1,n=5,

所以点A、B的坐标分别为A(1,0),B(0,5).将A(1,0),B(0,5)的坐标分别代入y=-x2+bx+c,

解这个方程组得

所以,抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.

(2)、由y=-x2-4x+5,令y=0,得-x2-4x+5=0,解这个方程得x1=-5,x2=1,

所以C点的坐标为(-5,0).由顶点坐标公式计算得点D(-2,9).

过D作x轴的垂线交x轴于M.则SDMC=×9×(5-2)=

S梯形MDBO=×2×(9+5)=14,SBOC=×5×5=

所以,SBCD=S梯形MDBO+SDMC-SBOC=14+=15.

(3)、设P点的坐标为(a,0),

因为线段BC过B、C两点,所以BC所在的直线方程为y=x+5.

那么,PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5),

PH与抛物线y=-x2-4x+5的交点坐标为H(a,-a2-4a+5).

由题意,得EH=EP,即(-a2-4a+5)-(a+5)=(a+5).

解这个方程,得a=-或a=-5(舍去).

EH=EP,(-a2-4a+5)-(a+5)=(a+5),

解这个方程,得a=-或a=-5(舍去),

P点的坐标为(-,0)或(-,0).

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