题目内容
在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数
（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；
（2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE=
k2-k+1，根据S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；
（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；
②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，
=
，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．
解答：解：（1）若点E与点P重合，则k=1×2=2；
（2）当k＞2时，如图1，
点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，
∵PF⊥PE，
∴S△FPE=
PE•PF=
（
-1）（k-2）=
k2-k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S△PFE=S△GEF，
∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE=
•k-
-（
k2-k+1）-
=
k2-1
∵S△OEF=2S△PEF，
∴
k2-1=2（
k2-k+1），
解得k=6或k=2，
∵k=2时，E、F重合，
∴k=6，
∴E点坐标为：（3，2）；
（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，
①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，
∵△FHM∽△MBE，
∴
=
，
∵FH=1，EM=PE=1-
，FM=PF=2-k，
∴
=
，BM=
，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
∴（1-
）2=（
）2+（
）2，
解得k=
，此时E点坐标为（
，2），
②当k＞2时，如图3，
只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，
=
，
∵FQ=1，EM=PF=k-2，FM=PE=
-1，
∴
=
，BM=2，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
∴（k-2）2=（
）2+22，解得k=
或0，但k=0不符合题意，
∴k=
．
此时E点坐标为（
，2），
∴符合条件的E点坐标为（
，2）（
，2）．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质解答．
（2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE=
k2-k+1，根据S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；
②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，
=，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．解答：解：（1）若点E与点P重合，则k=1×2=2；
（2）当k＞2时，如图1，
点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，
∵PF⊥PE，
∴S△FPE=
PE•PF=（-1）（k-2）=k2-k+1，∴四边形PFGE是矩形，
∴S△PFE=S△GEF，
∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE=
•k--（k2-k+1）-=k2-1∵S△OEF=2S△PEF，
∴
k2-1=2（k2-k+1），解得k=6或k=2，
∵k=2时，E、F重合，
∴k=6，
∴E点坐标为：（3，2）；
（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，
①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，
∵△FHM∽△MBE，
∴
=，∵FH=1，EM=PE=1-
，FM=PF=2-k，∴
=，BM=，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
∴（1-
）2=（）2+（）2，解得k=
，此时E点坐标为（，2），②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，
=，∵FQ=1，EM=PF=k-2，FM=PE=
-1，∴
=，BM=2，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
∴（k-2）2=（
）2+22，解得k=或0，但k=0不符合题意，∴k=
．此时E点坐标为（
，2），∴符合条件的E点坐标为（
，2）（，2）．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质解答．
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