题目内容

【题目】(1)观察发现:如图1,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,分别以AB,BC为边,向外作正方形ABDE和正方形BCFG,连接DG.若M是DG的中点,不难发现:BM=AC.

请完善下面证明思路:①先根据  ,证明BM=DG;②再证明   ,得到DG=AC;所以BM=AC;

(2)数学思考:若将上题的条件改为:“已知Rt△ABC,∠ABC=90°,分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACHI,N是EI的中点”,则相应的结论“AN=BC”成立吗?

小颖通过添加如图2所示的辅助线验证了结论的正确性.请写出小颖所添加的辅助线的作法,并由此证明该结论;

(3)拓展延伸:如图3,已知等腰△ABC和等腰△ADE,AB=AC,AD=AE.连接BE,CD,若P是CD的中点,探索:当∠BAC与∠DAE满足什么条件时,AP=BE,并简要说明证明思路.

【答案】(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,△BDG≌△BAC;(2)能,理由见解析;(3)当∠BAC=∠DAE=90°时,AP=BE,

【解析】试题分析:(1)根据题意即可得到结论;
(2)过IIK⊥EAEA的延长线于K,根据平角的定义得到∠BAC=∠IAK,根据全等三角形的性质得到BC=IK,AB=AK,等量代换得到AE=AI,推出AN是△EKI的中位线,于是得到结论.
(3)延长BAF,使AF=AB,连接EF,过AAG∥BE,根据三角形中位线的性质得到AG= BE,根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AEF,EF=CD,根据全等三角形的性质即可得到结论.

试题解析:

(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,②△BDG≌△BAC;

故答案为:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,△BDG≌△BAC;

(2)能,

理由:过I作IK⊥EA交EA的延长线于K,

∵∠EAI+∠BAC=360°﹣90°﹣90°=180°,∠EAI+∠TAK=180°,

∵∠BAC=∠IAK,

在△ABC与△AKI中,

∴△ABC≌△AKI,

∴BC=IK,AB=AK,

∵AE=AB,

∴AE=AI,

∵N是EI的中点,

∴AN是△EKI的中位线,

∴AN=IK,

∴AN=BC;

(3)当∠BAC=∠DAE=90°时,AP=BE,

延长BA到F,使AF=AB,连接EF,过A作AG∥BE,

∴EG=EF,

∴AG=BE,

∵∠BAC=∠DAE=90°,

∴∠CAD=180°﹣∠BAE,

∵∠FAE=180°﹣BAE,

∴∠CAD=∠FAE,

在△ACD与△AFE中,

∴△ACD≌△FAE,

∴∠ADC=∠AEF,EF=CD,

∵P是CD的中点,

∴DP=CD,

∴EG=DP,

在△ADP与△AEG中,

∴△ADP≌△AEG,

∴AP=AG,

∴AP=BE.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网