Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长是4 ，tanα= ，求四边形OBEC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

∴AC⊥BD，

∵BE∥AC，CE∥BD，

∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，

∴四边形OBEC是矩形；

（2）解：∵菱形ABCD的周长是4 ，

∴AB=BC=AD=DC= ，

∵tanα= ，

∴设CO=x，则BO=2x，

∴x2+（2x）2=（ ）2，

解得：x= ，

∴四边形OBEC的面积为： ×2 =4．

【解析】（1）利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，进而求出即可；（2）利用菱形的性质结合勾股定理得出CO，BO的长，进而求出四边形OBEC的面积．
【考点精析】利用菱形的性质和矩形的判定方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．