Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣ ，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．

（1）求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求四边形PAOC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：y= x+2中，当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，

∴C（0，2），A（﹣4，0），

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣ 对称，

∴点B的坐标为1，0）．

∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），

∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），

又∵抛物线过点C（0，2），

∴2=﹣4a

∴a=﹣

∴y=﹣ x2﹣ x+2．

（2）

解：设P（m，﹣ m2﹣ m+2）．

如图1，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q（m， m+2），

∴PQ=﹣ m2﹣ m+2﹣（ m+2）

=﹣ m2﹣2m，

∵S四边形PAOC=S△AOC+S△PAC= ×4×2+ ×PQ×4=2PQ+4=﹣m2﹣4m+4=﹣（m+2）2+8，

∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是8，

此时P（﹣2，3）．

（3）

解：如图2，

，

在Rt△AOC中，AC= =2 ，在Rt△BOC中，BC= = ，

∵AC2+BC2=20+5=25=AB2，

∴∠ACB=90°，CO⊥AB，

∴△ABC∽△AOC∽△CBO，

①若点M在x轴上方时，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC．

根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；

②若点M在x轴的下方时，设N（n，0），则M（n，﹣ n2﹣ n+2），

∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4，

当 = ，即 = = = 时，MN= AN，即 n2+ n﹣2= （n+4），

化简，得n2+2n﹣8=0，

n1=﹣4（舍），n2=2，M（2，﹣3）；

当 = ，即 = = =2时，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2（n+4），

化简，得n2﹣n﹣20=0，

解得：n1=﹣4（舍去），n2=5，

∴M（5，﹣18），

综上所述：存在点M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

【解析】（1）先求的直线y= x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ= m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S四边形PAOC=S△AOC+S△PAC=2PQ+4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；（3）根据两个角对应相等得两个三角形相似，可得M1 ， 根据抛物线的对称性，可得M2 ， 根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．