题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线y= 
x+1与抛物线y= x2+bx+c交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线y= x2+bx+c 交x轴正半轴于点C，横坐标为t的点P在第四象限的抛物线上，过点P作AB的垂线交x轴于点E，点Q为垂足，设CE的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围：
（3）在（2）的条件下，过点B作y轴的平行线交x轴于点D，连接DQ．当∠AQD=3∠PQD时，求点P坐标．
【答案】
（1）
解：令y=0得： 
x+1=0，解得：x=﹣2，
∴点A（﹣2，0）．
将x=4代入得：y= ×4+1=3，
∴B（4，3）．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得： 
，
解得： 
，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ 
﹣3．
（2）
解：如图1所示：
令y=0得：0= x2﹣ ﹣3，解得：x1=﹣2，x2=3，
∴点C的坐标为（3，0）．
设点P的坐标为（t， t2﹣ t﹣3）．
∵EC⊥AB，
∴设EC的解析式为y=﹣2x+b．
将点P的坐标代入得：﹣2t+b= t2﹣ t﹣3，解得b= t2+ 
t﹣3．
设直线EC的解析式为y=﹣2x+ t2+ t﹣3．
令y=0，得：2x+ t2+ t﹣3=0，解得：x= 
t2+ 
t﹣ ．
∴点E（ t2+ t﹣ ，0）．
∴EC=3﹣（ t2+ t﹣ ）=﹣ t2﹣ t+ 
．
∴d=﹣ t2﹣ t+ ．
∵点P在第四象限，
∴0＜t＜3．
（3）
解：如图2所示：过点d作CF⊥AB，垂足为F．
∵∠AQD=3∠PQD，∠AQP=90°，
∴∠PQD=45°．
∴∠DQF=45°．
∴QF=DF．
∵AB的解析式为y= x+1，
∴tan∠FAD= ，即DF= AF．
∴Q为AF的中点．
∵QP∥DF，
∴E为AD的中点．
∴E（1，0）．
∴EC=2，即2=﹣ t2﹣ t+ ，解得x=2或x=﹣5．
∵点P在第四象限，
∴x=2，
当x=2时，y=﹣2．
∴点P的坐标为（2，﹣2）．
【解析】（1）先求得点A和点B的坐标，将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值可得到抛物线的解析式；（2）先求得点C的坐标，设点P的坐标为（t， t2﹣ t﹣3），EC的解析式为y=﹣2x+b，将点P的坐标代入可求得b的值，得到直线EC的解析式为y=﹣2x+ t2+ t﹣3，接下来，求得点E的坐标，依据d=EC可得到d与t的函数关系是；（3）过点D作CF⊥AB，垂足为F．先证明△QFD为等腰直角三角形，可得到QF=DF，由AB的解析式可知tan∠FAD= ，z则Q为AF的中点，故此E为AD的中点，则可得到EC的长，由d和t的函数关系是可得到t的值．
【考点精析】掌握等腰直角三角形和函数关系式是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．
