Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径做⊙O分别交AC，BM于点D、E．
（1）求证：∠MDE=∠MED；
（2）填空： ①若AB=6，当DM=2AD时，DE=；
②连接OD、OE，当∠C的度数为时，四边形ODME是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠ABC=90°，M是AC的中点，

∴BM=AM=MC，

∴∠A=∠ABM，

∵四边形ABED是圆内接四边形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

又∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA，

同理证明：∠MED=∠A，

∴∠MDE=∠MED，

（2）4；30°
【解析】（2）①4， 由（1）可知，∠A=∠MDE，
∴DE∥AB，
∴
∵DM=2AD，
∴DM：MA=2：3，
∴DE= AB= ×6=4．
②当∠C=30°时，四边形ODME是菱形．
连接OD、OE，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，
∴△ODE，△DEM都是等边三角形，
∴OD=OE=EM=DM，
∴四边形OEMD是菱形．
所以答案是：（2）①4；②30°