题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,过点(, )的直线交轴的正半轴于点, .
(1)求直线的解析式;(直接写出结果)
(2)如图2,点是轴上一动点,以为圆心, 为半径作⊙,当⊙与相切时,设切点为,求圆心的坐标;
(3)在(2)的条件下,点在轴上,△是以为底边的等腰三角形,求过点、、三点的抛物线.
【答案】(1)直线的解析式为;
(2)当⊙与相切时,点坐标为(, )或(, );
(3)过点、、三点的抛物线为或
【解析】试题分析:(1)、根据Rt△AOB的性质求出点B的坐标,然后根据待定系数法求出函数解析式;(2)、根据⊙在直线AB的左侧和右侧两种情况以及圆的切线的性质分别求出AC的长度,从而得出点C的坐标;(3)、本题也需要分两种情况进行讨论:⊙在直线的右侧相切时得出点D的坐标,根据等边△的性质得出的坐标,从而根据待定系数法求出抛物线的解析式;⊙在直线的左侧相切时,根据切线的直角三角形的性质求出点的坐标,根据待定系数法求出抛物线的解析式.
试题解析:(1)∵(, ),∴. 在Rt△中, .
, . . ∴(, ).
设直线的解析式为.
则 解得 ∴直线的解析式为.
(2)如图3,①当⊙在直线的左侧时, ∵⊙与相切,∴.
在Rt△中, . , , .
而,∴与重合,即坐标为(, ).
②根据对称性,⊙还可能在直线的右侧,与直线相切,此时.
∴坐标为(, ).
综上,当⊙与相切时,点坐标为(, )或(, ).
(3)如图4,①⊙ 在直线的右侧相切时,点的坐标为(, ).
此时△为等边三角形.∴(, ).
设过点、、三点的抛物线的解析式为.
则
②当⊙在直线的左侧相切时, (, )
设,则, . 在Rt△中, .
, 即,
∴(, ).
设过点、、三点的抛物线的解析式为.
则, . .
综上,过点、、三点的抛物线为或.