题目内容

【题目】如图1,在平面直角坐标系中,过点 )的直线轴的正半轴于点

(1)求直线的解析式;(直接写出结果)

(2)如图2,点轴上一动点,以为圆心, 为半径作⊙,当⊙相切时,设切点为,求圆心的坐标;

(3)在(2)的条件下,点轴上,△是以为底边的等腰三角形,求过点三点的抛物线.

【答案】(1)直线的解析式为

(2)当⊙相切时,点坐标为( )或( );

(3)过点三点的抛物线为

【解析】试题分析:(1)、根据Rt△AOB的性质求出点B的坐标,然后根据待定系数法求出函数解析式;(2)、根据⊙在直线AB的左侧和右侧两种情况以及圆的切线的性质分别求出AC的长度,从而得出点C的坐标;(3)、本题也需要分两种情况进行讨论:⊙在直线的右侧相切时得出点D的坐标,根据等边△的性质得出的坐标,从而根据待定系数法求出抛物线的解析式;⊙在直线的左侧相切时,根据切线的直角三角形的性质求出点的坐标,根据待定系数法求出抛物线的解析式.

试题解析:(1)∵ ),∴. 在Rt△中,

. ∴ ).

设直线的解析式为

解得 ∴直线的解析式为

(2)如图3,①当⊙在直线的左侧时, ∵⊙相切,∴

在Rt△中,

,∴重合,即坐标为( ).

②根据对称性,⊙还可能在直线的右侧,与直线相切,此时

坐标为( ).

综上,当⊙相切时,点坐标为( )或( ).

(3)如图4,①⊙ 在直线的右侧相切时,点的坐标为( ).

此时△为等边三角形.∴ ).

设过点三点的抛物线的解析式为

②当⊙在直线的左侧相切时,

,则 . 在Rt△中,

, 即

).

设过点三点的抛物线的解析式为

综上,过点三点的抛物线为

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