题目内容
【题目】规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，请写出图中两对“等角三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°。求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请直接写出∠ACB的度数．
【答案】（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD等；（2）见解析；（3）84°或111°
【解析】
（1）结合题意，由三角形内角和定理，根据“等角三角形”的定义解答；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠DCB=
∠ACB=40°，根据“等角三角形”的定义证明；
（3）分△ACD是等腰三角形，DA=DC、DA=AC和△BCD是等腰三角形，DB=BC、DC=BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
解：（1）因为∠A=∠A，∠ACB=∠ADC，根据三角形内角和可得∠ACD=∠B，故△ABC与△ACD是“等角三角形”； 因为∠B=∠B，∠ACB=∠BDC，根据三角形内角和可得∠DCB=∠A，故△ABC与△BCD是“等角三角形”； 因为∠ACD=∠B，∠ADC=∠BDC，∠DCB=∠A，故△ACD与△BCD是“等角三角形”.
（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，
∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）有三种情况.①当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，
②当DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，
∠BCD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝69°+42°＝111°，
③当AC＝DC时，∠ADC＝∠A＝42°，
∴∠BDC＝180°－42°＝138°＝∠ACB,
此时∠B＝180°－42°－138°＝0°,舍去.
∴∠ACB的度数为84°或111°．
