题目内容

【题目】阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明. 已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.
求证:AB=CD.
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.
现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中一种,对原题进行证明.

【答案】证明:方法一:作BF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.

∴∠F=∠CGE=90°.

又∵∠BEF=∠CEG,BE=CE,

∴△BFE≌△CGE.

∴BF=CG.

在△ABF和△DCG中,∵∠F=∠DGC=90°,∠BAE=∠CDE,BF=CG,

∴△ABF≌△DCG.

∴AB=CD.

方法二:作CF∥AB,交DE的延长线于点F.

∴∠F=∠BAE.

又∵∠ABE=∠D,

∴∠F=∠D.

∴CF=CD.

∵∠F=∠BAE,∠AEB=∠FEC,BE=CE,

∴△ABE≌△FCE.

∴AB=CF.

∴AB=CD.

方法三:延长DE至点F,使EF=DE.

又∵BE=CE,∠BEF=∠CED,

∴△BEF≌△CED.

∴BF=CD,∠D=∠F.

又∵∠BAE=∠D,

∴∠BAE=∠F.

∴AB=BF.

∴AB=CD.


【解析】证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.

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