题目内容
【题目】知识再现
如图1,若点,
在直线
同侧,
,
到
的距离分别是3和2,
,现在直线
上找一点
,使
的值最小,做法如下:
作点关于直线
的对称点
,连接
,与直线
的交点就是所求的点
,线段
的长度即为
的最小值,请你求出这个最小值.
实践应用
如图2,菱形中
,
,点
,
,
分别为线段
,
,
上的任意一点,则
的最小值为______;
拓展延伸
如图3,在四边形的对角线
上找一点
,使
,保留作图痕迹,不必写出作法.
【答案】知识再现: ;
实践应用:
拓展延伸:图形见详解
【解析】
知识再现:根据对称性和勾股定理即可解题,
实践应用:先根据四边形ABCD是菱形可知,AD∥BC,由∠A=120°可知∠B=60°,作点P关于直线BD的对称点P′,连接P′Q,PC,则P′Q的长即为PK+QK的最小值,由图可知,当点Q与点C重合,CP′⊥AB时PK+QK的值最小,再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可.
拓展延伸:作B关于AC的对称点,连接DE并延长,即可得出答案.
解:
知识再现:
由对称的性质得到
∴AP+BP=
过点B作BD⊥AC于D,
∴AC=3,CD=2,AD=1,
在Rt△ADB中
在Rt△中
实践应用:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∵∠A=120°,
∴∠B=180°∠A=180°120°=60°,
如图2中,作点P关于直线BD的对称点P′,连接P′Q,P′C,则P′Q的长即为PK+QK的最小值,由图可知,当点Q与点C重合,CP′⊥AB时PK+QK的值最小,
在Rt△BCP′中,
∵BC=AB=2,∠B=60°,
∴P′Q=CP′=BCsinB=2×=
故答案为
拓展延伸:如图3所示:作B关于AC的对称点E,连接DE并延长交AC于P即可.

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