Question

【题目】（背景介绍）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．

（小试牛刀）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：

S梯形ABCD= ，

S△EBC= ，

S四边形AECD= ，

则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理．

（知识运用）（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；

（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．

（知识迁移）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式最小值（0＜x＜16）

Answer 1

【答案】【小试牛刀】，，，a（a+b）=b（a-b）+c2．

【知识运用】（1）41；（2）作图见解析；

【知识迁移】20.

【解析】

【小试牛刀】

根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．

【知识运用】

（1）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．

（2）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC=PD建立方程，解方程即可．

【知识迁移】

根据轴对称-最短路线的求法即可求出．

[小试牛刀]

S梯形ABCD=

S△EBC=

S四边形AECD=.

根据S梯形ABCD= S△EBC + S四边形AECD，得a（a+b）=b（a-b）+c2．

故答案为：，，，a（a+b）=b（a-b）+c2．

[知识运用]（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，

∵AD⊥AB，BC⊥AB，

∴BC=AE，CE=AB，

∴DE=AD-AE=25-16=9千米，

∴CD==41千米，

∴两个村庄相距41千米．

故答案为41．

（2）如图2②所示：

设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，

在Rt△ADP中，DP2=AP2+AD2=x2+242，

在Rt△BPC中，CP2=BP2+BC2=（40-x）2+162，

∵PC=PD，

∴x2+242=（40-x）2+162，

解得x=16，

即AP=16千米．

[知识迁移]：如图3，

代数式的最小值为：=20．