题目内容
【题目】以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABE和等腰三角形ADF.
（1）当四边形ABCD为正方形时（如图①），以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF，连接BF、ED，线段BF和ED的数量关系是_____________；
（2）当四边形ABCD为矩形时（如图②），以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF，连接EF、BD，线段EF和BD具有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）当四边形ABCD为平行四边形时，以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰△ABE和等腰△ADF，且△ABE和△ADF的顶角均为
，连接EF、BD，交点为G.请用表示出∠FGD，并说明理由.
【答案】BF=ED ; （2）
,证明见解析;（3）
.
【解析】分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，因等腰三角形ABE 和等腰三角形ADF，可得AE=BE=AF=FD，再证∠EAD=∠FAB，利用SAS证明△AED≌△AFB，即可得BF=ED；（2）EF=
BD，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，证明△BAD∽△EAF，根据相似三角形的性质可得
，所以BD=EF；（3）∠FGD=
，先证得△ABE∽△ADF，可得
，即
，再证得∠BAD=∠EAF，所以△BAD∽△EAF，因为 ∠AHF=∠DHG，即可得∠FGD=∠FAD=
.
详解：
（1）BF=ED；
（2）EF=BD；
证明：如图②，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，∠EAB=45°
同理
，∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠FAD，
即∠BAD=∠EAF，∵AB=AE，AD=AF
∴
，∴△BAD∽△EAF，
∴， 即BD=EF；
（3）解：∠FGD=，
如图，
∵△ABE为等腰三角形，EB=EA，同理FA=FD，
∴
，
又∵∠BEA=∠DFA=
，
∴△ABE∽△ADF，
∴，即，
∠EAB+∠EAD=∠DFA+∠EAD，即∠BAD=∠EAF，
∴△BAD∽△EAF，
又∵∠AHF=∠DHG,
∴∠FGD=∠FAD=.
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