题目内容
如图，等边△ABC的边长为12cm，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=4cm，若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直
线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．（1）设△EGA的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（2）在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否改变？若不变，求其值；若改变，请说明理由；
（3）请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．
分析：（1）为了求出三角形的面积，我们要作高线．通过特殊角的三角函数求出此高，再利用三角形相似，用t表示出底．这样，这个三角形的面积就可用含t的代数式表示出来了．
（2）首先由两步相似，即△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，证得BF=CH，然后分三种情况：
①0＜t＜6时，②t=6时，③t＞6时；
在上述三种情况中，通过线段间的等量代换，都可证得FH=BC，因此△FHG、△ABC的面积相等，由于△ABC的面积是定值，所以△FHG的面积不变．
（3）分两种情况：①点F在线段BC上，②点F在BC的延长线上；可通过线段间的等量关系，求出BF的值，从而求得t的值．
（2）首先由两步相似，即△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，证得BF=CH，然后分三种情况：
①0＜t＜6时，②t=6时，③t＞6时；
在上述三种情况中，通过线段间的等量代换，都可证得FH=BC，因此△FHG、△ABC的面积相等，由于△ABC的面积是定值，所以△FHG的面积不变．
（3）分两种情况：①点F在线段BC上，②点F在BC的延长线上；可通过线段间的等量关系，求出BF的值，从而求得t的值．
解答：
解：（1）作EM⊥GA，垂足为M．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°．
∵GA∥BC，
∴∠MAE=60°．
∵AD=AE=4，
∴ME=AE•sin60°=2
，BD=AB-AD=8，
又GA∥BH，
∴△AGD∽△BFD，
∴
=
=
，
又∵BF=2t，
∴AG=t．
∴S=
t．
（2）猜想：不变．
∵AG∥BC，
∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴BF=CH．
情况①：0＜t＜6时，
∵BF=CH，
∴BF+CF=CH+CF，
即：FH=BC；
情况②：t=6时，有FH=BC；
情况③：t＞6时，
∵BF=CH，
∴BF-CF=CH-CF，
即：FH=BC．
∴S△GFH=S△ABC=36
．
综上所述，当点F在运动过程中，△GFH的面积为36
cm2．
（3）∵BC=FH，∴BF=CH．
①当点F在线段BC边上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH．
∵BC=12，∴BF=FC=6，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴t=3．
∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；
②当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是BH的三等分点，则BC=CF=FH．
∵BC=12，∴CF=12，∴BF=24，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴t=12．
∴当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点；
综上可知：当t=3s或12s时，点F和点C是线段BH的三等分点．
解：（1）作EM⊥GA，垂足为M．∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°．
∵GA∥BC，
∴∠MAE=60°．
∵AD=AE=4，
∴ME=AE•sin60°=2
| 3 |
又GA∥BH，
∴△AGD∽△BFD，
∴
| AG |
| BF |
| AD |
| BD |
| 1 |
| 2 |
又∵BF=2t，
∴AG=t．
∴S=
| 3 |
（2）猜想：不变．
∵AG∥BC，
∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，
∴
| AG |
| BF |
| AD |
| BD |
| AG |
| CH |
| AE |
| EC |
∴
| AD |
| BD |
| AE |
| EC |
∴
| AG |
| BF |
| AG |
| CH |
∴BF=CH．
情况①：0＜t＜6时，
∵BF=CH，
∴BF+CF=CH+CF，
即：FH=BC；
情况②：t=6时，有FH=BC；
情况③：t＞6时，
∵BF=CH，
∴BF-CF=CH-CF，
即：FH=BC．
∴S△GFH=S△ABC=36
| 3 |
综上所述，当点F在运动过程中，△GFH的面积为36
| 3 |
（3）∵BC=FH，∴BF=CH．
①当点F在线段BC边上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH．
∵BC=12，∴BF=FC=6，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴t=3．
∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；
②当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是BH的三等分点，则BC=CF=FH．
∵BC=12，∴CF=12，∴BF=24，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴t=12．
∴当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点；
综上可知：当t=3s或12s时，点F和点C是线段BH的三等分点．
点评：此题主要考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法等知识，同时还涉及分类讨论的数学思想，难度较大．
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