题目内容
【题目】如图,P为等边△ABC外一点,AH垂直平分PC于点H,∠BAP的平分线交PC于点D.
(1)求证:DP=DB;
(2)求证:DA+DB=DC;
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)首先由等边三角形的性质易得AB=AC=BC,由垂直平分线的性质易得AP=AC,等量代换可得AP=AB,由SAS定理可证得△PAD≌△BAD,利用全等三角形的性质可得结论;
(2)在CP上截CQ=PD,证明△ACQ≌△APD,等量代换,证得△ADQ为等边三角形,得出结论.
(1) ∵AH是PC的垂直平分线
∴PA=PC=AB
∵AD平分∠PAB
∴∠PAD=∠BAD
在△PAD和△BAD中,
∴△PAD≌△BAD(SAS)
∴DP=DB
(2) 在CP上截取CQ=PD,连接AQ
∵AP=AC
∴∠APD=∠ACQ
在△APD和△ACQ中,
∴△APD≌△ACQ(SAS)
∴AD=AQ,∠CAQ=∠PAD
∴∠BAC=∠CAQ+∠BAQ=∠PAD+∠BAQ=∠BAD+∠BAQ=∠DAQ=60°
∴△ADQ为等边三角形
∴AD=DQ
∴CD=DQ+CQ=AD+DB
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